Méthode des éléments finis

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Description du cours

Ce cours est sous une version ancienne non révisée depuis janvier 2002.

Dans ce cours, on présente la méthode des éléments finis comme une méthode numérique permettant d'approcher la solution de problèmes de physique, c'est-à-dire trouver numériquement une approximation de champs inconnus régis par un système d'équations différentielles aux dérivées partielles avec des conditions aux limites sur les frontières d'un domaine.

Contrairement à ce qui est parfois affirmé, cette méthode numérique n'est pas réservée aux problèmes de mécanique des solides déformables, bien que les exemples illustratifs d'équations présentés dans ce cours soient le plus souvent de la mécanique des solides déformables utilisant le très criticable tenseur des "petites perturbations" ε  ! S'il le désire, le lecteur pourra trouver un exposé plus succinct de la méthode (mais avec des exemples sans restrictions sur les déformations) dans la section 8.2 du cours Comportement élastique de ce site.
En fait, je voudrais combattre l'idée tenace (probablement pour des raisons historiques) selon laquelle les éléments finis seraient de petits bouts de matière qui se déforment selon une loi de comportement ! Cette conception ancienne des éléments finis a induit dans le passé des concepts douteux de "mécanique numérique" qu'il vaudrait mieux oublier. La résolution numérique d'un problème aux dérivées partielles, quelle que soient les physiques qu'elles traduisent, se ramène à trouver les champs (scalaires, vectoriels ou tensoriels) qui satisfont aux équations et aux conditions aux limites du problème.

Le but de ce cours est de comprendre le fonctionnement de la méthode en vue de maîtriser sa pratique dans un logiciel. On n'y trouvera donc pas les fondements mathématiques théoriques tels qu'ils sont exposés dans les cours d'analyse fonctionnelle, ni les détails de programmation ou d'implémentation informatique. Sa seule ambition est de faire comprendre à "l'utilisateur moyen" comment fonctionne la méthode, les difficultés à surmonter pour la mettre en pratique, choisir intelligemment parmi les options proposées par les logiciels et enfin mettre en évidence ce que l'on peut en attendre (ou pas).

Dans un souci de généralité, il n'est fait allusion à aucun logiciel particulier. Par conséquent, il se peut que le vocabulaire employé dans ce cours ait besoin d'être adapté aux idiomes propres à chaque logiciel.

Après un exemple introductif simple illustrant la démarche générale, on évoque successivement le maillage, l'interpolation polynomiale, les formulations intégrales d'un problème, la discrétisation, la résolution et l'exploitation des résultats.

Bonne lecture.

Tous commentaires, critiques ou corrections sont les bienvenus à : jean.garrigues@centrale-marseille.fr .

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