Comportement élastique

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Présentation du cours

Ce cours définit le comportement élastique des solides déformables d'une manière tout à fait générale. Il n'y est fait aucune hypothèse, ni sur les mouvements, ni sur les déformations, ni sur l'isotropie, ni sur les températures. La seule hypothèse faite est que l'on peut décrire le comportement macroscopique d'un solide déformable élastique comme un milieu continu. Pour situer ce cours par rapport aux terminologies couramment rencontrées, il pourrait s'appeler "thermo-hyperélasticité en grandes déformations".

Contrairement à quelques préjugés qui circulent, l'élasticité générale n'est pas aussi compliquée que l'on voudrait le faire croire, à condition de se limiter à l'essentiel sans se perdre dans l'exhaustivité des divers tenseurs de déformation et dans les pseudo-concepts de "mécanique numérique" que l'on peut trouver dans la littérature sur le sujet. L'historique et traditionnelle "élasticité" de Hooke y apparaît donc comme une dégradation de la théorie générale. Elle n'y est que peu développée car une profusion d'ouvrages existent déjà dans cette spécialité.

Ce cours utilise pleinement les concepts définis dans le cours Cinématique des milieux continus , le cours Équations générales des milieux continus , ainsi que les outils mathématiques tensoriels définis dans le cours Algèbre et analyse tensorielles de ce site.

Après une définition thermodynamique de l'élasticité, on établit la forme générale de toutes les lois de comportement (thermo-)élastique isotrope, et on donne un exemple de construction de modèle de comportement élastique isotrope physiquement motivé.

On évoque ensuite rapidement la traditionnelle "élasticité" de Hooke, qui apparaît comme une dégradation de l'élasticité générale, en soulignant clairement les sévères limites d'utilisation de cette théorie.

On aborde ensuite l'élasticité anisotrope en construisant la forme générale des lois de comportement élastiques des milieux dits "isotropes transverses", c'est-à-dire à une seule direction d'anisotropie, suivie d'un exemple de construction d'un modèle élastique isotrope transverse.

Les élasticités isotrope et isotrope transverse indiquent la voie à suivre pour la construction de lois de comportement pour des milieux élastiques d'anisotropies plus complexes. Le chapitre Élasticité générique synthétise la méthode de construction systématique des modèles de comportement élastiques isotropes ou non.

Le cours se termine par une description du problème élastique (équations et conditions aux limites à résoudre) comportant un exposé succinct (mais rigoureux) de la méthode des éléments finis, agrémenté de quelques illustrations numériques.

Pour faciliter la lecture, certains calculs techniquement pénibles ont été reportés en annexe, dont une partie sous la forme de feuilles de calcul très commentées, exécutables dans le logiciel de calcul formel Mathematica® (version 5.2). Les commentaires qui s'y trouvent devraient permettre à tout lecteur de transposer et de refaire ces calculs dans tout autre logiciel de calcul formel (voire à la main s'il est courageux).

Bonne lecture.

Tous commentaires, critiques ou corrections sont les bienvenus à : jean.garrigues@centrale-marseille.fr .

Téléchargements et ressources :