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Comportement élastique

(version du 23 mars 2015)

Ce cours définit le comportement élastique des solides déformables dans un sens tout à fait général. Il n'y est fait aucune hypothèse, ni sur les mouvements, ni sur les déformations, ni sur l'isotropie, ni sur les températures. La seule hypothèse faite est que l'on peut décrire le comportement macroscopique d'un solide déformable élastique comme un milieu continu. Pour situer ce cours par rapport aux terminologies couramment employées, il pourrait s'appeler "thermo-hyper-élasticité en grandes déformations".

Contrairement à quelques préjugés qui circulent, l'élasticité générale n'est pas aussi compliquée qu'on veut le faire croire, à condition de se limiter à l'essentiel sans se perdre dans l'exhaustivité des divers tenseurs de déformation et dans les pseudo-concepts de "mécanique numérique" que l'on peut trouver dans la littérature sur le sujet. L'élasticité classique de Hooke y apparaît donc comme une dégradation de la théorie générale. Elle n'y est que peu développée car une profusion de cours existent déjà dans cette spécialité.

Ce cours utilise pleinement les concepts définis dans le cours Cinématique des milieux continus et le cours Équations générales des milieux continus de ce site.

Après une définition thermodynamique de l'élasticité, on établit la forme générale de toutes les lois de comportement (thermo-)élastique isotrope, et on donne un exemple de construction de modèle de comportement élastique isotrope physiquement motivé.

On introduit ensuite rapidement "l'élasticité de Hooke", présentée comme un cas particulier, en soulignant toutefois clairement les limites d'utilisation de cette théorie.

On aborde ensuite l'élasticité anisotrope en construisant la forme générale des lois de comportement élastiques des milieux dits "isotropes transverses", c'est-à-dire à une seule direction d'anisotropie, suivie d'un exemple de construction d'un modèle élastique isotrope transverse. Ces deux derniers chapitres donnent la voie à suivre pour la construction de lois de comportement pour des milieux élastiques d'anisotropies plus complexes. Suit ensuite un chapitre d'élasticité générique qui synthétise la méthode de construction systématique des modèles élastiques isotropes ou non.

Le cours se termine par une synthèse du problème élastique comportant un exposé succinct (mais rigoureux) de la méthode des éléments finis, agrémenté de quelques illustrations numériques.

Pour faciliter la lecture, certains calculs techniquement pénibles ont été reportés en annexe, dont une partie sous la forme de feuilles de calcul très commentées, exécutables dans le logiciel de calcul formel Mathematica (version 5.2). Les commentaires qui s'y trouvent devraient permettre à tout lecteur de transposer et de refaire ces calculs dans tout autre logiciel de calcul formel (voire à la main s'il est courageux).

Vous pouvez télécharger le cours Comportement élastique au format pdf : Elasticite.pdf .

Il est aussi déposé sur http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00827790 .

Bonne lecture.

Tous commentaires, critiques ou corrections sont les bienvenus chez jean.garrigues@centrale-marseille.fr


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