8.8 Approximation des sections droites en profil mince

Les sections droites en profil mince ont déjà été définies dans le chapitre sur la torsion. On utilise ici les mêmes notations.

Pour approximer le champ des contraintes tangentielles dues à l'effort tranchant dans une section en profil mince, on utilise encore les propriétés du champ $\boldsymbol \tau$ établies dans le problème de Saint-Venant, suivant une démarche semblable à l'approximation de Bredt. Mais ici, la coupure AA' est perpendiculaire à la ligne de profil (voir figure 8.2).

  

Figure: Choix de $\Omega ^*$ pour les contraintes tangentielles dues à T

On suppose comme dans l'approximation de Bredt pour les sections quelconques, que la contrainte tangentielle $\boldsymbol \tau$ est parallèle à u et qu'elle est constante dans l'épaisseur du profil ^8.4.

Le flux de la contrainte tangentielle $\boldsymbol \tau$ à travers la coupure AA' est donc

$$\Phi = \left( \boldsymbol\tau \,\overline{\otimes}\,\boldsymbol u \right)\, e$$

.

8.8.1 Profils minces ouverts

Il suffit d'appliquer la propriété du flux de $\boldsymbol \tau$ sur la portion de section S^* de la figure 8.3 :

  

Figure 8.3: Choix de S^* pour les profils minces ouverts

On obtient :

$$\int_{{\Omega'}^*} \boldsymbol\tau \,\overline{\otimes}\,\bol... ...) -\frac{T_3}{I_2}A\left( \mathcal S^*,\boldsymbol X_2\right)$$

et donc :

$$\boxed{ \boldsymbol\tau = \left[ -\frac{T_2}{e\,I_3}A\left( \... ...ft( \mathcal S^*,\boldsymbol X_2\right) \right] \boldsymbol u }$$

$\boldsymbol \tau$ évolue en fonction de l'abscisse curviligne ucar les moments statiques $A\left( \mathcal S^*,\boldsymbol X_3\right)$et $A\left( \mathcal S^*,\boldsymbol X_2\right)$ varient avec la position de la coupure AA'.

Il est à noter que pour les profils minces, le calcul des moments statiques peut se ramener à une intégrale simple :

$$A\left( \mathcal S^*,\boldsymbol X_3\right)= \int_S x_2 \;ds \simeq \int_P^Q x_2\left(u\right) \, e\;du$$

où P et Q sont les points de la ligne de profil qui délimitent $\mathcal S^*$.

De même,

$$A\left( \mathcal S^*,\boldsymbol X_2\right)= \int_S x_3 \;ds \simeq \int_P^Q x_3\left(u\right) \, e\;du$$

Une fois les contraintes tangentielles calculées, on peut alors calculer leur moment résultant M_t en G et en déduire la position du centre de cisaillement. On peut alors déduire les contraintes et les déplacements dus à -M_t.

8.8.2 Profils minces cloisonnés

De la même manière qu'en torsion, la ligne de profil est un graphe composé de branches reliant des nuds (figure 8.4).

  

Figure 8.4: Ligne de profil d'un profil mince fermé

Puisque les contraintes tangentielles dans la section droite sont constantes dans l'épaisseur de chaque branche, on peut raisonner sur les flux de $\boldsymbol \tau$ à travers les coupures.

8.8.2.1 Loi des branches

On considère une branche AB et on choisit pour S^* la portion de section droite qui recouvre la branche entre ses deux nuds. Pour la branche AB, la loi de flux de $\boldsymbol \tau$ sur $\Omega ^*$ s'écrit :

$$\begin{eqnarray*}-\frac{e\,T_2}{I_3}A\left( \mathcal S^*,\boldsymbol X_3\right) ... ...au_B \,\overline{\otimes}\,\boldsymbol u_A \\ &=& \Phi_B-\Phi_A \end{eqnarray*}$$

En écrivant cette relation pour chaque branche, on obtient les relations entre les << flux d'entrée >> et les << flux de sortie>> de chaque branche.

8.8.2.2 Loi des nuds

On considère maintenant un nud C et on choisit pour S^* la portion de section droite qui raccorde les branches qui aboutissent au nud. La section étant en profil mince, l'aire de S^* est de l'ordre de e², donc négligeable, et ses moments statiques sont nuls. La loi de flux de $\boldsymbol \tau$ sur $\Omega ^*$ s'écrit :

$$\int_{{\Omega'}^*} \boldsymbol\tau \,\overline{\otimes}\,\bol... ...bol u_i \,\overline{\otimes}\,\boldsymbol n \right)\,\Phi_i =0$$

où I est l'ensemble des numéros de branches aboutissant au nud.

Le produit scalaire $\boldsymbol u_i \,\overline{\otimes}\,\boldsymbol n$ vaut respectivement +1 ou -1 selon que u est sortant ou entrant.

On peut écrire ces relations pour tous les nuds ^8.5.

8.8.2.3 Loi des mailles

Pour clore la détermination des flux, il faut utiliser la seconde propriété du champ des contraintes tangentielles : la propriété de circulation de $\boldsymbol \tau$ le long d'une courbe fermée $\Omega ^*$, qu'on rappelle ici :

$$\int_{\Omega^*} \boldsymbol\tau \,\overline{\otimes}\,\boldsy... ...Omega_i} \boldsymbol\tau \,\overline{\otimes}\,\boldsymbol{dl}$$

où le dernier terme est la somme des circulations de $\boldsymbol \tau$le long des contours intérieurs entourés par $\Omega ^*$.

On choisit pour S^* la portion de section droite délimitée par une ligne fermée tracée sur la ligne de profil entourant un << trou >>. S^* a donc un contour extérieur $\Omega^*_e$ (sur la ligne de profil) et un contour intérieur $\Omega^*_i$(le contour du trou). En appliquant la propriété de circulation sur S^*, on obtient :

$$2\int_{\Omega^*_e} \boldsymbol\tau \,\overline{\otimes}\,\bol... ...c{T_3}{I_2}A\left( \mathcal S^*,\boldsymbol X_2\right) \right]$$

On écrit cette relation pour chaque maille entourant un trou.

8.8.2.4 Résolution

L'ensemble des équations précédentes (lois des branches, lois des nuds et loi de mailles) forme un système d'équations linéaire où les inconnues sont les contraintes tangentielles (ou les flux) à l'entrée et à la sortie de chaque branche. On en déduit les contraintes tangentielles à l'entrée et à la sortie de chaque branche.

On peut alors calculer la contrainte tangentielle en tout point d'une branche en appliquant la loi des branches sur un S^* compris entre l'entrée de la branche et une coupure quelconque dans la branche.