9. Conclusion

$\bullet$ La théorie des poutres est une théorie élastique des milieux continus curvilignes. Les efforts extérieurs sont donc considérés comme appliqués sur la ligne moyenne de la poutre.

$\bullet$ Les efforts intérieurs d'un milieu curviligne sont représentés par un torseur : le torseur des efforts intérieurs.

$$\left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol R = N \boldsymbol x_1 + ... ...\boldsymbol x_2 + M_{f3} \boldsymbol x_3 \end{array}\right\}_G$$

$\bullet$ Les déformations sont représentées par la rotation de torsion de la ligne moyenne (due au moment de torsion), les variations de courbure de la ligne moyenne (rotations dues au moment de flexion) et par l'allongement de la ligne moyenne.

$$\begin{eqnarray*}\frac{d\boldsymbol \omega}{dl} &=& \frac{d\omega_1}{dl}\boldsym... ... \\ \frac{du_1}{dl} &:& \mbox{ Allongement de la ligne moyenne} \end{eqnarray*}$$

Pour les poutres droites, on peut ajouter les relations géométriques:

$$\frac{d\omega_2}{dl} = - \frac{d^2u_3}{dx_1{}^2} \mbox{ et } \frac{d\omega_3}{dl} = + \frac{d^2u_2}{dx_1{}^2}$$

$\bullet$ On en déduit les déplacements par intégration des déformations

$$\begin{array}{rl} \boldsymbol \omega_B =& \boldsymbol \omega_... ...boldsymbol x_3 \right) \wedge \boldsymbol{GB} \; dl \end{array}$$

$\bullet$ La loi de comportement élastique des poutres est la relation entre le torseur des efforts intérieurs et les déformations :

$$\begin{eqnarray*}\frac{du_1}{dl} &=& \frac{N}{E\,S} \\ \frac{d\omega_1}{dl} &=&... ...{f2}}{E\,I_2} \\ \frac{d\omega_3}{dl} &=& \frac{M_{f3}}{E\,I_3} \end{eqnarray*}$$

où E et $G=\displaystyle \frac{E}{2\left(1+\nu\right)}$ sont des caractéristiques élastiques du matériau, et S, J, I₂ et I₃ sont des caractéristiques de la section droite.
Cette loi de comportement a été déduite de la résolution d'un problème d'élasticité : le problème de Saint-Venant.

$\bullet$ Pour pouvoir vérifier la résistance des poutres, la connaissance du torseur des efforts intérieurs est insuffisante. Il est nécessaire de revenir aux contraintes pour pouvoir appliquer un critère de limite élastique ^9.1.
Les quatre derniers chapitres on eu pricipalement pour objet de préciser la distribution des contraintes pour chacune des composantes du torseur intérieur. Les contraintes dans une poutre résultent donc de la superposition des tenseurs dus à chacune des ces composantes (théorème de superposition). Il est à la charge de l'ingénieur de choisir un critère de limite élastique et de garantir que ce critère est satisfait en tout point de la poutre ^9.2.

$\bullet$ Le critère de limite élastique doit toujours être respecté, mais l'ingénieur a souvent d'autres conditions imposées par le cahier des charges (par exemple des valeurs maximum de rotation ou déplacement de la ligne moyenne). La théorie des poutres permet de les évaluer.

$\bullet$ Pour terminer, il faut rappeler que la théorie des poutres a été établie sous des hypothèses géométriques et mécaniques qu'on rappelle ici :

• Les dimensions transversales des sections droites sont petites devant les rayons de courbure de la ligne moyenne,
• La solution de Saint-Venant n'est correcte que loin des points d'application des efforts.

Il ne faut donc pas tenter de faire dire à la théorie des poutres ce qu'elle ne peut pas dire. Si on veut des résultats sur une poutre courbe, courte ou au voisinage de l'application des efforts, il faut faire une étude en élasticité tridimensionnelle (éventuellement locale).

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Cet exposé de statique des poutres ne prétend pas être complet. Il a seulement pour but de situer la théorie des poutres dans l'ensemble de la mécanique, et de donner les moyens de calculer des structures simples de poutres. La littérature spécialisée en théorie des poutres ^9.3 est très riche. On y trouvera un grand nombre de traités exposant des méthodes particulières et des formulaires ^9.4. Cette profusion vient de ce que jusqu'à ces dernières décennies, cette théorie était la seule modélisation numériquement accessible pour calculer les structures complexes.

Il reste que deux points importants n'ont pas été abordés:

• Les méthodes énergétiques. Elles sont l'objet d'un autre cours. Elles sont fondamentales pour l'utilisation de la méthode des éléments finis.
• La stabilité. En effet, les équations d'équilibre ne fournissent aucun renseignement sur la stabilité des solutions trouvées. Son étude sera abordée plus tard dans un cadre plus général.