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Algèbre et d'analyse tensorielle pour l'étude des milieux continus

(version du 4 janvier 2016)

Les tenseurs sont un outil mathématique indispensable pour décrire commodément un certain nombre de grandeurs physiques introduites en mécanique des milieux continus, telles que la déformation, la vitesse de déformation ou les contraintes. Ce cours ne traite donc pas de mécanique des milieux continus, mais se contente de faire une présentation mathématique minimale mais rigoureuse sur l'algèbre et l'analyse tensorielle en vue de leur utilisation en mécanique des milieux continus dans le cadre de la physique classique.

Néanmoins, par rapport à d'autres cours sur les tenseurs pour la mécanique des milieux continus que l'on pourra trouver ailleurs, j'ai pris délibérement les deux options suivantes :
1) Je trouve personnellement inadmissible qu'on se limite à n'utiliser que des bases orthonormées dans les espaces vectoriels. Ce souci de généralité a un coût : il faut parler de variance. Le lecteur qui ne souhaite pas cette généralité pourra sans inconvénient mettre tous les indices en bas sans se poser de questions.
2) Je trouve personnellement inadmissible que, quand on décrit un champ, la seule manière de repérer un point dans l'espace soit un système de coordonnées cartésiennes. Le lecteur qui supporte cette limitation n'aura qu'à annuler tous les coefficients de Christoffel.

Outre l'étude des champs de tenseurs, et des opérateurs différentiels gradient, divergence, rotationnel et laplacien de ces champs (indispensables pour l'étude de la mécanique des milieux continus), la partie analyse de ce cours contient aussi l'étude des fonctions à valeur tensorielle et dont les arguments sont tensoriels, et plus spécialement l'étude des fonctions isotropes, dont l'utilité se révèle cruciale dans la construction des lois de comportement. Ces concepts sont rarement exposés dans les cours de mécanique des milieux continus car la construction des lois de comportement n'est pas dans leurs objectifs, elles sont "parachutées" sans réelle justification. Cette partie de l'analyse ne concerne donc que les lecteurs qui souhaitent comprendre pourquoi il faut des lois de comportement et comment on peut les construire. On trouvera en annexe des démonstrations originales sur les fonctions isotropes donnant les listes d'invariants associées aux arguments tensoriels.

Je comprends que les limitations auxquelles je renonce dans ce cours, sont justifiées quand on ne dispose pas du temps nécessaire pour faire un cours satisfaisant (moi-même, j'ai pratiqué dans mes derniers cours ces limitations, sacrifiant ainsi, contre mon gré, à la sacro-sainte nécessité de la rapidité !). Mais puisque j'ai maintenant l'occasion d'écrire un cours propre, je ne résiste pas à l'envie de le faire.

Bonne lecture.

Vous pouvez télécharger le cours Algèbre et analyse tensorielle pour l'étude des milieux continus (version du 4 janvier 2016)

Il est aussi déposé sur http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00679923

Tous commentaires ou critiques sont les bienvenus chez jean.garrigues@centrale-marseille.fr

  • Dans le cadre des écoles doctorales de l'université Aix-Marseille, j'ai donné les 1er et 3 Février 2016 un cours sur l'algèbre et l'analyse tensorielle dont la vidéo est ici :
          https://www.youtube.com/playlist?list=PLPQGNqWjyFxziKGY8ow85OxNLY8WGFxRt ;
    ou  https://webtv.centrale-marseille.fr/channels/#mecanique-des-milieux-continus ;

    Les diapositives sont ici :
        - par pages : Tens_pres_pages.pdf ;
        - par clics : Tens_pres_clics.pdf


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